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标题: 刚发现的一个博弈论案例，发来大家玩玩~~~~ [打印本页]

作者: 7U游戏社区 时间: 2013-11-28 09:55
标题: 刚发现的一个博弈论案例，发来大家玩玩~~~~
一老先生中奖2^n元(n足够大,大于18) ，要分给2个孩子,规定如下：
（1）由哥哥先提出分钱的方式，如果弟弟同意，那就这么分；
（2）如果弟弟不同意，50%会捐给地震灾区，由弟弟提出剩下50%的分钱方式；
（3）如果哥哥同意弟弟的方式，就分掉这剩下的50%；
(4）如果哥哥不同意，规定剩下的钱中的50%捐给灾区
(5)再次由哥哥提出方案,周而复始
　问：哥哥会提出什么样的分钱方式使其利益最大化？（分配最小单位元）
并问n为奇数或偶数有什么不同?
附带条件：两人都极聪明且见钱眼开,想多拿钱

附一些网友的解答：
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网友甲：

1. 从0开始逆推
N=0 A 0 B 0
N=1 A 1 B 1
N=2 A 2 B 2
N=3 A 5 B 3 A 2^N-(2^(N-2)+1) B 2^(N-2)+1
N=4 A 10 B 6 A 2^N-(2^(N-1)-2^(N-3)) B 2^(N-1)-2^(N-3)
N=5 A 22 B 11 A 2^N-(2^(N-1)-2^(N-2)+2^(N-4)+1) B 2^(N-1)-2^(N-2)+2^(N-4)+1
N=6 A 41 B 23 A 2^N-(2^(N-1)-2^(N-2)+2^(N-3)-2^(N-5)-1) B 2^(N-1)-2^(N-2)+2^(N-3)-2^(N-5)-1

2. 貌似一个挺复杂的数列, 要把通项公式先套出来才行
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网友乙：

最小单位是什么，1元1角还是1分？
剩下最小单位的时候如何分一半给灾区？n是奇数偶数似乎跟最小单位是元有关吧？
如果没有最小单位，这就是一个无穷博弈。
哥的a,弟得b。b=50*a/(a+b)
a=66.666 b=33.333
注：以上为%制
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网友甲再次回复

N=0 A 0 B 0
N=1 A 1 B 1
N=2 A 2 B 2
N=3 A 5 B 3
N=4 A 10 B 6
N=5 A 22 B 11
N=6 A 41 B 23
N=7 A 86 B 42
N=8 A 169 B 87

数学归纳法证明：　第N+1轮B(弟弟)的收益至少比第N轮A（弟弟）的收益多1, 才能保证方案通过．肯定是有通项公式的，回家再想．

N为奇数和偶数时确实不太一样,
为奇数时, B的收益不到A的50%,
为偶数时, B的收益超过A的50%,
特别的N=0,1,2时AB收益相等．
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网友丙（据说是大神）

在有限轮次的情况下,无论最后一轮分配结果如何,轮次越多,结果越趋进于哥哥提出获得2/3

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网友丁

哥哥提出获得2/3为正确答案
考虑题中有一设定:分配最小单位元
2^n元 (n为偶数):哥哥(2^n -1)*2/3+1,弟弟(2^n -1)/3
2^n元 (n为奇数):哥哥(2^n +1)*2/3-1,弟弟(2^n +1)/3
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网友戊（比较有价值的参考）

我觉得没有那么复杂，只需要考虑第一次和第二次就可以了
如果第2次弟弟分50%，也就是原来的25%，弟弟最多也就能拿这些了。
所以第一次只要分弟弟25%+1，他就会同意，因为无论如何他能得到的不会比这个更多。
而如果第一次你不给弟弟25%+1，也就意味着你直接失去了50%，无论如何选择都不会利益最大化。
因为这题有资本递减，所以和海盗题是完全不同的2个概念。
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余下的就交给你们了

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